Neperin e=2.71828182846.., Luonnollinen?


K.A.T. 11.3 -21.5.2003

Eka kerran kun törmäsin luonnolliseen logaritmiin ln , jonka kantaluku
Neperin e=2.71828.. on kaikkea muuta kuin "luonnollinen"
log10:een verrattuna niin ihmettelin kovin sen luonnollisuutta.

Myöhemmin keksin ja panin paperille 10 eri tapausta jossa tuo luku e
pomppaa esiin "luonnossakin". Valitettavasti olen kadottanut tuon
paprun.

Tässä muutama tapaus joita muistan:

1. Lottoajat

Lottoruutu voidaan ruksia 15'380'937 eri tavalla. Jos nyt
15'380'937 lottoajaa ruksaa täysin satunnaisesti toisistaan
riippumatta jokainen 1:n lottoruudun, niin hätäisesti ajateltuna
luulisi tarkalleen aine yhden  saavan 7 oikein lotossa. Tosiasiassa osa
lottoajista on ruksinut keskenään idettisiä ruutuja ja jotkut rivit
jää käyttämättä. Käyttämättömien osuus on suuri  ~1/e = 36.8%. Siten
todennäköisyys, että lotossa tällä viikolla kukaan ei saa
7 oikein on varsin tarkkaan p= 1/e =1/2.718281828 = 36.8 %.

2."Juopuneen sihteerin ongelma"

Sihteerillä on 10 osoitteellista kuorta ja 10 henk. koht. osoitettua
kirjettä. Humalassa ei muista katsoa osoitteita ja ne menee
satunnaisesti sekaisin eri kuoriin. Millä todennäköisyydellä kukaan ei
saa oikeaa kirjettä ?  Vast: p= 1/e = 36.8 % (suhteellisen tarkkaan
1/e).

3. Analogiakorko

Pankissa korkeakorkoisella tilillä on rahaa ja 10% korolla
vuosittain. 10:ssä vuodessa se kasvaa 1.10^10 = 2.593 kertaiseksi.
Ehdotan pankinjohtajalle, että "maksa analogisesti, liukuvasti; pudota
korko miljoonasosaan ja myös koronmaksutahti miljoonasti
tiheämpään,jooko ?" Pankinjohtaja aatteele, no samapa se ja maksaa
0.000'01 vuoden (316 sekunnin) välein 0.000'01% korolla. Tilini
kasvaakin 1.000'000'1^10'000'000 = 2.71828169 kertaiseksi eli noin
Neperin luvulla kasvaneeksi ja saan isomman voiton ja pankinjohtaja
syöksyy luokseni "Hetkinen!!!" ,,:)

4. Radioaktiivinen hajoaminen.

1000 radioaktiivista atomia. Todennäköisyys yhdelle atomille hajota
seuraavan sekunnin aikana on 0.001. Tuosta atomijoukosta pitäisi
täysin peittävällä geigerpatteristolla kuulua siis poksahdus 1
sekunnin välein. Kuitenkin vie keskimäärin 693 sekuntia ennenkuin
puolet eli 500 atomia on hajonnut.  Nyt 693/1000 = 0.693 ja e^-0.693=
0.50007 ~ 0.5.  Tai toisinpäin: luonnollinen logaritmi 0.5:stä eli ln
0.5 = -0.693147..

5. Valonläpäisy..

Jostain saan ikkunalasia, joka millimetriä kohti pidättää vain
0.1% valosta eli läpäisyky on 99.9% kutakin mm kohti. 
Kuinka paljon valoa läpäisee metrin kerros lasia ?  
Se läpäisee 0.999^1000 = 0.3676 = 36.8% ~ 1/e.

Näin siis luonnossakin törmäämme e:hen.


---------------------------------------------------------------------------